タブの切り替え時にふわっと表示させたい。

$('.news__area ul').removeClass('show')の時点で、

css

1.news__area ul:not(.show) {2 display: none;3}

が有効になって非表示になります。
fadeOut()が最終的にdisplay: none;を付加しますの上記のCSSは不要です。

removeClass と addClass が不要ですね。

$('.news__area ul').fadeOut(300).eq(index).fadeIn(300);

これでふわっと消えて、ふわっと表示されます。ただし、表示位置がずれるので、position:absolute;で位置を固定する必要があります。

css

1.news__area ul {2 position: absolute;3}