GASで複数の文字列を一度に取り除く方法

「取り除く」が「部分文字列を削除する」という意味なら、splitじゃなくてreplaceです。
replace("～～～","")で、～～～を削除（=空に置換）します。

ただ、splitした結果が望みのもなら、splitを使うのでしょうが、それは「削除」ではないです。
splitは「文字列を配列に分割」です。

split()を(/(<h2 class=>|</h2>)/)にしてみたが、Syntaxエラーが出る。

よく見ましょう。/は正規表現を囲む記号なので、/(<h2 class=>|</までが正規表現で、そのあとに何か変な物h2>)/)がついているので文法エラーです。
/で囲んだ正規表現の中に/という文字を書きたい時は\/と書きます。
/(<h2 class=>|<\/h2>)/