selectで選択した値を保持するには

ページが遷移しても残るようにするには

あなたが言う「ページが遷移」というのをどのようにやるつもりなのか書いてないのでわかりませんけど、何にせよブラウザから Web サーバーに要求を出して遷移先のページを応答として返してもらわないと遷移できないですよね。違います？　何か特別なことを考えてますか？

上に書いた理解が合っているのであれば、

他のページに遷移しても選んだ状態を保持し続けるには、

何らかの方法で、遷移する際に Web サーバーに「選んだ状態」の情報を送信できないと何ともならないと思いますが、違いますか？

違わなければ、質問の、

どれが良いと思いますか？

はどれもハズレだと思いますけど。

Web アプリは本来ステートレスということを理解してますか？　そのステートレスを何とかするためにフレームワークに様々なアプローチが提供されているはずです。例えば ASP.NET だと以下のようなこと。

ASP.NETの状態管理：ビューステート／クッキー／セッション情報
https://atmarkit.itmedia.co.jp/fdotnet/bookpreview/learnaspnet_0701/learnaspnet_0701_01.html

Ruby on Rails は自分は全く知らないのでどういう手段が用意されているのか分かりませんが、何か今回の要件に適切な手段があるんじゃないですか？