動画を背景として流すのですが、その推奨ピクセルサイズを知りたい

要件にもよりますが、
（どこまで画質の粗が出ていいのか）
おおむねそのような画素数でいいかと。
ただし、スマホは、提示されている画素数の倍は合った方がいいと思います。

画素数よりも大事なことがあります。
それは、容量です。
Web上では、下位互換対応もあり、5MB以下が推奨されています。
でないと、閲覧するエンドユーザー側の経済的負担が大きくなります。
（特に、キャリア回線などで、月の通信量が決まっているユーザー、など）
それらを加味した時、PCにおいてのフルHDも苦しかったりします。
（5MB以下にしようとすると、とんでもなく画質が粗くなる）
また、単純に表示までの速度の短縮をせねばなりません。

そこら辺を、なるたけ軽減する方法に、
全画面にYouTubeなどの動画サービスに上げた動画を掲載する、という方法もあります。
少なくとも、表示速度は改善が見込めます。
ただし、それでも、容量はどうしようもないです。

これらを、要件と照らし合わせ、実装方法を熟慮する必要があります。