Gitを導入できない職場

そもそも社内でGitを導入する理由があるかどうかを考えた方がいいですね。
もしGitを導入することで、こういう効果が見込めるとわかっているのであれば
それを資料などにまとめて、会議の場や上司に提案してみてはどうでしょうか？

それにはまず自分1人でもGit管理して一度運用してみるのもおすすめです。
自分1人なら失敗しても問題はないですし、メリット・デメリットが浮き彫りになってくるのではないでしょうか？

ちなみに自分の会社では基本FTPですが、WordPress開発の場合ローカルで作業して、更新ファイルを後でFTPにあげたりするので、その場合にGit連携しておいて、更新ファイルをわかりやすくするために使っています。

要はGitHubもツールなので目的と使い方次第かと思います。