ヘッダーメニューと画像の重ならない様にしたい。(wordpress)

しかし、ヘッダーメニューとハンバーガーメニューがあるheader-rightが左の方へ元に戻ってしまいました。

提示のコードでサンプルを作成してみましたが、その症状は再現できませんでした。
提示されていない部分に問題があるかと思われます。

なのでmain_headerでfixedを使って固定するしかないと考えています。

fixedで重ならないようにするなら、親要素(.container)に.main_headerの高さ分の上余白を設定すればいいでしょう。

CSS

1.container {2 width: 100%;3 margin:0;4 padding: 0;5 position: relative;6 padding-top: 170px; /* 追加 */7}8 9.main_header {10 width: 100%;11 display: flex;12 height: 170px!important;13 position: fixed; /* 変更 */14 top: 0; /* 追加 */15}