Selenium find_element クラス名が一致するのにエラーが起きる

開発者ツールでの確認は、Selenium実行中に確認していますか？

find_element(By.CLASS_NAME, "クラス名")を実装中に存在するクラス名を指定したのにも関わらずエラーになりました。

発想が間違っています。お書きのエラーメッセージが出たということは、「その時点でそのHTMLにそのクラスの要素は無かった」が事実です。
（参考：driver.find_element(～)の直前に、print(driver.page_source) を入れて、それで表示されるHTMLを確認しましょう。その要素は無いはずです）

なので、「別のタイミングでブラウザでページを見るとその要素があるのに、Seleniumで処理した時はそのタイミングでなぜその要素がないのか？」が調べるべき事です。
よくあるケースは、「まだその要素が出来ていない（しばらく待てば出来る）」です。
他には、
・その前の部分で間違っていて、期待しているのと違う内容のページになっている
・サーバー側でSeleniumを検知して違うページを出している
など。